МЕХАНИКА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.

*

5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ.

 

              Какую бы систему взаимодействующих тел мы не рассматривали, будь то Солнечная система или сталкивающиеся бильярдные шары. координаты и скорости тел непрерывно изменяются с течением времени.  В этом, разумеется нет ничего неожиданного.

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СО СВОЙСТВАМИ СОХРАНЕНИЯ.

 

          Мы видели в предыдущих главах, что законы движения позволяют решать задачи механики, если известны силы, приложенные к телам.  Может показаться, что на этом можно было бы закончить изучение механики.  Но во многих случаях законы движения нельзя использовать для решения задач именно потому, что неизвестны силы.  Когда, например, приходится рассматривать столкновение двух тел,  будь то столкновение автомобилей, вагонов или бильярдных шаров, трудно определить значение возникающих при этом сил.  Мы знаем, что здесь действуют силы упругости.  Но деформации в  таких случаях очень сложные (ведь речь идет не о стержнях, которые удлиняются или укорачиваются).  Да и время действия очень мало.

         В таких случаях пользуются следствиями из законов движения.  При этом получаются  новые величины, вместо сил и ускорений.  Эти величины — импульс и энергия.  О них будет рассказано в этом разделе.   

        Импульс и энергия —  особые величины.  Они обладают свойством сохранения.     И сами эти величины и их свойство сохранения играют  важную роль не только в механике, но и во всех разделах физики. В этом состоит их особое значение.

 

              Замечательным является то, что у  системы тел, на которую не действуют внешние силы  (замкнутой системы) имеется ряд величин, зависящих от координат и скоростей ВСЕХ ТЕЛ СИСТЕМЫ, которые при движении тел не изменяются со временем.  И такими сохраняющимися величинами являются как раз импульс (или количество движения) и механическая энергия.

                   Роль законов сохранения в механике и других разделах физики огромна.

                 Во-первых, они позволяют сравнительно простым путем, не рассматривая действующие на тел силы, решать ряд практических задач.  Законы сохранения позволяют по первоначальному состоянию системы, не зная подробности взаимодействия тел, определить скорости этих тел после взаимодействия.

                 Во-вторых, и это главное, открытые в механике законы сохранения играют в природе  огромную роль, далеко выходящую за рамки самой механики.  Даже в тех условиях, когда законы механики Ньютона применять нельзя, законы сохранения импульса и энергии не теряют своего значения.

            Они применимы  как к телам обычных размеров, так и к космическим телам  и элементарным частицам.  Именно всеобщность законов сохранения, их применимость ко всем явлениям природы, а не только к механическим делает эти законы столь значительными.

           Итак, поговорим об одной из важнейшей физической величине — импульсе тела.


          Импульсом тела    называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.


              Импульс — векторная величина. Направление вектора импульса тела всегда совпадает с направлением вектора скорости движения. 

           За единицу в СИ принимают импульс тела массой в 1 кг, движущийся со скоростью 1 м/с.  Значит, единицей импульса в СИ является 1 кг · м/с. 

          При расчётах пользуются уравнением для проекций векторов:

 

                В зависимости от направления вектора скорости по отношению к Выбранной оси Х, проекция вектора импульса может быть  как положительной, так и отрицательной. 

                Слово «импульс»  (impulsus)  в переводе с латинского означает «толчок».  В некоторых книгах вместо слова «импульс»  используется термин  «количество движения»

Перышкин. стр. 82.

             Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (т.е. не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.

           Импульс каждого из тел, входящих в замкнутую систему, может меняться в результате их взаимодействия друг с другом. Но


векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.


В этом заключается закон сохранения импульса.


              Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулюПокажем это, воспользовавшись для вывода закона сохранения импульса вторым и третьим законами Ньютона.  Для простоты рассмотрим систему, состоящую только из двух тел — шаров массами    и , которые движутся навстречу друг другу со скоростями   и    (рис.45).

 

               Силы тяжести, действующие на каждый из шаров, уравновешиваются силами упругости поверхности, по которой они катятся. Значит, действия этих сил можно не учитывать.  Силы сопротивления движению в данном случае малы, поэтому их влияния мы тоже не будем учитывать.  Таким образом, можно считать, что шары взаимодействуют только друг с другом.             Из рис. 45 видно, что через некоторое время шары столкнутся.  Во время столкновения, длящегося в течение  очень короткого времени t,  возникают силы взаимодействия    и   , приложенные соответственно к первому и второму шару. В результате действия сил, скорости шаров изменятся.  Обозначим скорости шаров после соударения буквами    и 

         В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия шаров равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

            По второму закону Ньютона каждую из этих сил можно заменить произведением массы и ускорения, полученного каждым шаром при взаимодействии:

          Ускорения, как вы знаете, определяются из равенств:

 

            Заменив в уравнении для сил ускорения соответствующими выражениями, получим:

 

 В результате сокращения обеих частей на t, получим:

или

Сгруппировав члены этого уравнения следующим образом:


  (1)


Учитывая, что   , запишем уравнение (1) в таком виде:


(2)


         Левые части уравнений  (1) и (2) представляют собой суммарный импульс шаров после их взаимодействия, а правые  — суммарный импульс до взаимодействия.  Значит, несмотря на то ,что импульс каждого из шаров при взаимодействии изменился, векторная сумма их импульсов после взаимодействия осталась такой же, как и до взаимодействия.

 

           Уравнения (1) и (2) являются математической записью закона сохранения импульса.

            Если рассматривать взаимодействия тел, движущихся вдоль оной прямой, то для записи закона сохранения импульса в скалярной форме достаточно одного уравнения, в которое входят проекции векторных величин на ось Х:

 



 

 

 

 

 

§  5.1  Сила и импульс.  Другая формулировка второго закона Ньютона.

 

Формулу второго закона Ньютона    можно записать по-другому, если вспомнить, что ускорение  характеризует быстроту изменения скорости:         .  Подставив это выражение в формулу второго закона Ньютона, получим:

         (1.1)

Здесь      — изменение скорости, t  —  время, за которое это изменение произошло.  Но

t  — это и время действия силы, так как скорость изменяется только под действием силы.  Из формулы (1.1)  видно, что изменение скорости      .    Это значит, что одна и та же сила , действующая в течение одного и того же времени  t , вызывает у тел разной массы различные изменения скорости.

              Перепишем формулу (1.1) в таком виде:

 

(3)

          В правой части этого равенства стоит стоит изменение величины  — произведение массы тела на его скорость.  Эта величина носит особое название — импульс тела:


импульсом тела называется величина , равная произведению массы тела на его скорость.


               Формула (3) — это просто иначе записанный второй закон Ньютона.  Она позволяет его сформулировать иначе, чем мы это делали раньше:  в результате действия силы изменяется импульс тела.  Изменение импульса равно произведению приложенной к телу силы на время  её действия.   А это значит, что одна и та же сила за одно и то же время вызывает у любого тела  одно и то же изменение импульса, т.к.  в левую часть равенства (2) масса не входит.

             Величина    тоже имеет название — импульс силы, так что, согласно формуле (3),


изменение импульса тела равно импульсу силы.


                Импульс  тела     и импульс силы    — величины векторные. Вектор импульса тела направлен так же, как вектор скорости,  вектор импульса силы —  так же, как вектор силы.

              Из формулы (3) следует, что импульс тела выражается в килограмм-метрах в секунду (кг•м/с), импульс силы в ньютон-секундах (Н•с).


(Закон сохранения импульса. Кик., стр. 113.)

          Если взаимодействуют не два, как в приведенном примере, а много тел, то можно, применив к каждому из них формулу (3) доказать, что и в этих случаях сумма импульсов замкнутой системы взаимодействующих тел не изменяется (сохраняется). В этом и состоит закон сохранения импульса.


Геометрическая  сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых движениях и взаимодействиях тел системы.


             Еще раз о взаимодействиях….(Версия Касьянова, стр. 81, §22,  только для десятиклассников).

              Во многих случаях детальная информация о промежуточных состояниях системы не представляет существенного интереса.  Наиболее важной является связь начального и конечного состояния системы, будь то рождение элементарных частиц или столкновение автомобилей.  Поэтому в физике большое внимание уделяется физическим величинам, сохраняющимися неизменными в процессе эволюции системы.

         Законы сохранения в классической механике могут быть получены из законов динамики Ньютона.

          Рассмотрим сначала как на движение тела влияет длительность действия силы

 

      Для упрощения математических оценок будем считать, что:

  • модуль силы не зависит от координаты х;

  • сила, начиная действовать в момент времени t=0, остается постоянной в течение времени Δt и затем прекращает свое действие, т.е. становится равной нулю при t ≥ Δt (рис. 70, а).

                   Подобная зависимость силы от времени реализуется, например, при броске шайб хоккеистом. (рис 70,б).                                             Предположим, что до броска (при t<0)  тело (шайба) массой m двигалось равномерно со скоростью .   Под действием  постоянной силы    оно стечением времени Δt будет двигаться равноускорено  с ускорением    :

             Тогда скорость, приобретаемую телом при равноускоренном движении можно выразить следующим образом:

 

Перенося    в левую часть равенства с противоположным знаком и умножая обе части полученного соотношения на m, получаем

 

              Правая часть этого выражения сдержит величины, характеризующие внешнее воздействие на тело (сила, длительность её действия).    —  импульс силы — произведение силы и её длительности.  Лева часть представляет  собой изменения импульса тела, характеризующего движение тела.


Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела и его скорости и   совпадающая по направлению со скоростью:


 

            Единица импульса  — килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

            Импульс является фундаментальной и, (как мы покажем в дальнейшем) сохраняющейся характеристикой физической системы.

            Изменение импульса. В начальный момент времени импульс тела       поэтому



 

         Это выражение является более общей формулировкой второго закона Ньютона.

 

 

 

 

 

 

Закон сохранения импульса.

 

(забавный ролик).

 

Глава 6

 

              Итак, мы видели, какое важное значение имеет импульс, для которого существует закон сохранения. Столь же большую роль имеет другая величина, которая для замкнутой системы тоже  остается постоянной. Эта величина  — энергия, с которой приходится иметь дело не только в механике, но и в других раз-делах физики, во всех науках о природе, во всех отраслях техники да и в повседневной жизни.

          Подобно тому, как одна величина  — импульс тела связана с другой величиной — импульсом силы, энергия тоже связана с другой величиной — работой силы, или механической работойПознакомимся сначала с понятием работы.

 

 

 

   РАБОТА СИЛЫ. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА.

            С понятием «механическая работа» мы уже встречались в курсе физики VII класса.   Там же мы видели, что когда на тело действует постоянная сила    и тело совершает в направлении действия силы перемещение    , то, как говорят, сила совершает работу А, равную произведению модулей  силы и перемещения:

 

 

 

          Там же была введена  и единица работы джоуль (Дж): за единицу  работы принимают работу, совершенную силой в 1Н на пути, равном 1 м:

1 Дж=1 Н·1м.

(1Дж=1кг·м²/с²)

           Работа — скалярная величина. Сила и перемещение — величины векторные. Но работа равна произведению модулей векторов    и    ,  а  модуль вектора —  величина  скалярная.  Поэтому и работа — скалярная величина.  О работе нельзя сказать, что она куда-то направлена.

 


            Второй закон Ньютона в форме    позволяет определить, как меняется скорость тела  по модулю и направлению, если на него в течение времени      действует сила   

           Во многих случаях важно уметь вычислять изменение скорости по модулю, если при перемещению тела на    на него действует сила  .   Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуется величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений тел.  Эту величину в механике называют работой силы.  (Мякишев)


Общие выражения для работы и силы.

 

           Если направление силы совпадает с направлением перемещения, то это значит, что угол между векторами силы и перемещения равен нулю.  Когда силы и перемещения противоположны друг другу, угол между этими векторами равен 180º.  Но силы, приложенные к движущемуся телу, могут образовывать с направлением перемещения угол,  отличный от 0 и 180º.  Например к санкам, движущимся по горизонтальной дороге, в направлении, указанном стрелкой, см. рисунок (131, 132)  в какой-то момент подействовала сила в направлении под углом к горизонту, в первом случае (рис. 131) угол    острый, во втором (рис)132 — тупой.  Как вычислить работу, которую совершает сила

, если перемещение санок равно  ?

 

 

           Для этого формулу работы надо записать в таком виде:

 

(1)

где    — угол между векторами силы и перемещения.  Когда угол

  острый (см. рис. 131), его косинус положителен и работа такой силы положительна. Когда угол    тупой (см. рис. 132),  его косинус отрицателен и работа силы, направленной таким образом, отрицательна.  Если угол    между силой и перемещением равен 90°, т.е. сила перпендикулярна перемещению, то работа силы равна нулю, т.к. cos 90°=0.


       Работа постоянной силы равна произведению модулей векторов силы  перемещения на косинус угла между этими векторами.


 

Работа сил, приложенных к телу,  и изменение его скорости. 

(Кикоин §44)

            Рассмоnрим тело, к которому приложена постоянная сила

  — она может быть и равнодействующей нескольких сил. О силе

можно сказать, во-первых, что она сообщает телу ускорение, т.е. изменяет его скорость.  Во-вторых, что она совершает работу, потому что тело под действием этой силы перемещается.  Между работой, произведенной силой и изменением скорости  поэтому должна быть связь. Найдем её.

       Рассмотрим простейший случай, когда векторы силы и перемещения направлены вдоль одной прямой в одну и ту же сторону. В ту же сторону направим и координатную ось  (рис.136).

Тогда проекции силы , перемещения  ,  ускорения   и скорости   будут равны модулям самих этих векторов.  Напишем для этого случая выражение для работы силы:

A=Fs  (1)

и формулу второго закона Ньютона:

F=ma. (2)

           Из законов  кинематики мы знаем, что при прямолинейном равноускоренном движении (в нашем случае движение именно такое, так как сила постоянная) перемещение и скорость связаны соотношением:

(3)

Где   и     — модули вектора скорости в начале и в конце участка s.  Подставляя  в формулу (1) выражения для F и s из формул (2) и (3), получим:

или

(4)

            Эта формула связывает работу силы А с изменением скорости тела (точнее квадрата скорости).

Кинетическая энергия.  Выражение в правой части равенства (4) представляет собой изменение величины    —  представляет собой половину произведения массы тела на квадрат его скорости. Эта величина имеет особое название — кинетическая энергия. Обозначим её чрез    Тогда формула (4) примет вид:


    (5)


      Работа силы (или равнодействующей всех сил) равна изменению кинетической энергии тела.

Это утверждение называется теоремой о кинетической энергии.


          Когда сила, действующая  на тело, направлена в сторону движения и, следовательно.. совершает положительную работу, то

Это означает, что кинетическая энергия тела увеличивается. Так и должно быть, так как сила, направленная в сторону движения тела увеличивает модуль его скорости.  Понятно. что если сила направлена  в сторону, противоположную движению тела, она совершает отрицательную работу  и кинетическая энергия тела уменьшается.

            Из формулы (4) видно, что кинетическая энергия выражается  в тех же единицах, что и работа, т.е. в джоулях.

         Теорема о кинетической энергии была нами получена из второго закона Ньютона. Можно даже сказать, что формулы (4) и (5) — это просто иначе записанные формулы второго закона Ньютона.  Поэтому теорема о кинетической энергии справедлива независимо от того, какие именно силы приложены к телу: силы упругости, силы тяжести или силы трения.

             Таким  образом,  формула (4) или (5)  показывает, что если на тело действует сила, то изменяется его кинетическая энергия. А изменение кинетической энергии равно работе силы. У любого тела (любой массы) кинетическая энергия изменится на одну и ту же величину, если работа силы  одна и та же. Большая сила при малом перемещении вызовет  тела вызовет такое же изменение кинетической энергии, как малая сила при большом перемещении; если только работа силы,  т.е. произведение массы на на перемещение, будет одной и той же.

          Что характеризует кинетическая энергия? Представим себе, что покоящемуся телу    массой требуется сообщить скорость, равную  (например, сообщить скорость    покоящемуся в стволе орудия снаряду).  Для этого сила, приложенная к телу, должна совершить определенную работу. Чему равна эта работа? Согласно теореме о кинетической энергии,


 Следовательно, кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  , равна работе, которую нужно совершить, чтобы сообщить телу эту скорость. Такую же работу, но противоположного  знака нужно совершить, чтобы тело, движущееся с такой скоростью, остановить.  Из теоремы о кинетической энергии следует также, что кинетическая энергия — это физическая величина, характеризующая движущееся тело; изменение этой величины равно работе силы, приложенной к телу.


 

 

 

 

Урок 114. Работа. Теорема о кинетической энергии

 

 

Урок 116. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *